【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)

由f'(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x

={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x

=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x

=f(1+⊿x/x)/⊿x    =f'(1)/x=a/x

已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y

【思路1】设U=x+y,v=x-y
f(u,v)=uv
f'x=f'u*u'x+f'v*v'x=v*1+u*1=u+v
f'y=f'u*u'y+f'v*v'y=v-u
f'x+f'y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y   选A

【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),

令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).

结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。

已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什么？答案为（-2，-1）U（3，4）

【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入计算即可

A,B是一次随机实验的两个事件，则————

A. A-(B-A)=A-B      B. A-(B-A)=A

【思路】b,利用定义可得

已知随机变量X的密度的函数是：
f(x)=
其中m>0，A为常数，则概率P{m<X<m+a} (a>0)的值一定是：____
A、与a无关，随着m的增大而增大
B、与m无关，随着a的增大而增大
C、与a无关，随着m的增大而减少
D、与m无关，随着a的增大而减少

【思路】P{m<X<+∞} (a>0)= dx=Ae-m=1           A=em
P{m<X<m+a}=F(m+a)-F(m)=  -

=  =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a       a>0     答案为B

设X是连续型随机变量，其分布函数是F(X),如果EX存在，则当x->+∞时，1-F(x)是1/x的___。
A、等价无穷小           B、高价无穷小
C、低价无穷小           D、同价无穷小

【思路】由于EX存在，xf(x)的无穷积分收敛且为1／x的高阶无穷小；
因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知，由比较判别法可知，如果为同阶或低阶无穷小，则xf(x)不收敛。

设有编号为1，2，3，...,n的n个求和编号为1，2，3，...,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？

【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同；
而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!；
［注意：上面用到了这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1－1／2！＋1／3！－...＋（-1）^(n-1)/n!;］
故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)；
给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);
2者相乘得出：恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
当n趋于无穷大时，取法为（n!/2）*[e^(-1)];

【思路】如果以m代替2，通解为
C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-m)/(n-m)!)

注：机工版P52页21题如下：
设有编号为1，2，3，4，5的5个求和编号为1，2，3，4，5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20

设随机变量X的分布函数为F（x),则Y=-2logF(X)的概率密度函数P（y)=_________.

【思路】F（y)=P（Y y）=P（-2logF(X) y）=P{F(X) e-y/2},

令F(X0)= e-y/2,因为F(X)是非减函数，

故事件F(X)  F(X0)= e-y/2等价于事件X  X0,

则P{F(X)  e-y/2}=P（X X0）=1-P（X X0）=1-F(X0)=1- e-y/2，

P（y)=[F（y)]’=（1/2）e-y/2

一个盒子里有红球一只，白球一只，黑球一只，每次从盒子里取一个球，观察颜色后放回再取，直到三种颜色的球都取到为止。求取球的次数不少于6次的概率。

【思路】Ai=第i次三种颜色的求全取到i 3,B=取球的次数不少于6次，

所求概率是P(B)=P(A6)+P(A7)+P(A8)+...
K 3时，第K次取到三个球时，前K-1次取到另两种颜色的球，

故P(AK)= [2K-1-2]/3K{意思是前K-1次时，每一次从两种颜色中取，去掉同色的两种情况，第K次取第三种颜色}=

P(B)=  =分解为两个等比数列求和=31/81

库房有十箱零件（每箱都有许多），有6箱用新工艺做的，全合格。其余用旧工艺完成，75％的合格率。现随机打开一箱取出三个，检查其中一个为合格品，求另外两个也合格的概率。
（答案为41/41=0.85）

【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工艺 C=旧工艺
P（B）=0.6 P（A/B）=1 P（C）=0.4 P（A/C）=3/4
所求：P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）
P（A1）=P（B）P（A1/B）+P（C）P（A1/C）=0.9
P（A1*A2*A3）=P（B）P（A1*A2*A3/B）+P（C）P（A1*A2*A3/C）
=0.6+0.4*（3/4）3
P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）=41/48

【思路2】由题可知首先取到的零件是新工艺还是旧工艺生产应是两
个互斥事件，所以令：A=新工艺生产 =旧工艺生产
B=取到一个合格品     C=另两个也合格
则：由题知，P（A）=0.6 P（ ）=0.4     P（B/A）=1 P（B/ ）=0.75
求：P（CB/B）=？
解：∵P（AB）=0.6×1=0.6 P（ B）=0.4×0.75=0.3
∴P（B）=P（AB）+P（ B）=0.9
又∵P（C/AB）=1×1=1 P（C/ B）=0.75×0.75=0.5625
（注意，题中给出每箱中零件是大量的，所以其概率直接用0.75乘以0.75）
∴P（CAB）=1×0.6=0.6 P（C B）=0.5625×0.3=0.16875
∴P（CB）=0.6+0.16875=0.76875
∴P（BC/B）=0.76875÷0.9=41/48=0.8541

由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？

【思路】 5！/2=300

用排列组合的对称思想可以理解上面的解法,举个简单例子：5个人排队，甲必须排在乙左边的排法？5人全排列时，甲不在乙的左边就在乙的右边，故排法是1/2*5！。

袋子中标号1-9的球，从中不放回取4个，求所取的4个球标号和的期望。（E=20）

【思路】记xi为第i次取的球，i=1，2，3，4
E(Y=x1+x2+x3+x4)=E(x1)+E(x2)+E(x3)+E(x4)=4*(1/9)*(1+2+3+...+9)=20

（这道题有放回和无放回的答案相同）

设n个人排成一排，甲乙是其中两个人，求这n个人的任意排列中，甲乙之间恰有r个人的概率。

【思路1】1、先将甲、乙2人排列：P（2，2）
2、甲乙之间R人：P（r,n-2）
3、将甲乙及之间r人看作一整体，与其他n-r-2做排列
所求P=P（2，2）*P（r,n-2）*(n-r-1)!/n!=2*(n-r-1)/n(n-1)

【思路2】P= =

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